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高中数理化

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2025年19期

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名师工作室 | 求解二面角问题的两个基本视角

名师工作室 | 求解二面角问题的两个基本视角

二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.二面角的大小可以用它的平面角来度量，在二面角的公共棱上任取一点为垂足，过该点在两个半平面内分别作垂直于公共棱的射线，则这两条射线所组成的角即为二面角的平面角.由二面角大小的定义可知，二面角的平面角取值范围是 [0，π] .特别地，如果二面角的大小为，则称这两个半平面所在的平面互相垂直.二面角的本质就是最大的线面角，也就是说，对于一个锐二面角，在
高考全关注 | 启智明理为育人多思少算重推理对2025年数学新高考Ⅰ卷多选题的探究策略分析

高考全关注 | 启智明理为育人多思少算重推理对2025年数学新高考Ⅰ卷多选题的探究策略分析

1 ²（正高级教师特级教师)（1.2.） 2025年数学新高考I卷以其独特的命题风格和考查方式引起了广大师生的关注.试题不仅注重对基础知识的考查，更强调逻辑推理和解决问题能力的培养.特别是几道多选题不仅考查了学生对知识点的掌握程度，更通过题目的巧妙设计，引导学生多思考、少运算，注重推理过程.2025年数学新高考1卷的多选题涉及多个知识点的综合运用，要求学生在掌握基础知识的同时，具备综合运用知识解决
高考全关注 | 基础与创新融合能力与素养并重-2025年数学新高考Ⅱ卷评析

高考全关注 | 基础与创新融合能力与素养并重-2025年数学新高考Ⅱ卷评析

2025年数学新高考Ⅱ卷落实立德树人根本任务，严格依据课程标准命题，在保持传统优势的基础上进一步深化考试内容改革，既延续2024年的试卷结构设计，又打破以往的一些固定模式和套路.试题遵循高考评价体系理念，以核心价值为统领，以学科素养为导向，突出关键能力的考查.同时，试题注重教考衔接，促进“双减"政策落实，助力基础教育提质增效，能很好地引导中学数学教学，服务拔尖创新人才选拔，是一份优秀试卷，起到高考
高考全关注 | 一题多解视角下的立体几何备考策略

高考全关注 | 一题多解视角下的立体几何备考策略

立体几何作为高中数学的核心内容，不仅是高考考查的重点，更是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的关键载体.2025年数学北京卷第14题以3D打印零件是抽象的多面体为载体，其核心特点在于非模式化的组合体，既非学生熟悉的棱柱、棱锥，也非棱台，而是通过面面垂直、线线垂直、线线平行等位置关系定义的组合体.解决问题的关键在于将陌生几何体转化为熟悉的基本几何体，考查学生“从具体到抽象”“从未知到已知"的转化能力
高考全关注 | 探寻立体几何试题命制中的“隐藏术”

高考全关注 | 探寻立体几何试题命制中的“隐藏术”

深入研究立体几何试题，可以发现试题命制中的一些“隐藏术”在命制这类问题时，命题者常将解题需用到的某些条件或关系隐藏，要求考生自行探究发现，本文举例说明. 1巧妙隐藏中点在证明空间平行关系时，题目中往往只给出一个中点，而另一个中点隐藏在题目中，要求考生进行分析才能发现，否则可能导致思维受阻. 如图1所示，在直三棱柱 ABC–A1B1C1 中，分别为 AB ，B1C1 的中点，求证： C1B
高考全关注 | 空间夹角指方向向量坐标解谜团

高考全关注 | 空间夹角指方向向量坐标解谜团

立体几何中的空间夹角问题是近几年高考的热点题型，常以解答题的形式出现.求解这类问题对学生的空间想象、逻辑推理以及数学运算能力要求较高.本文结合例题分析这类问题的求解思路， 1异面直线所成角例1 如图1所示，在三棱锥P-ABC中，底面ABC 是边长为4的等边三角形， .若异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值为是线段 PB （不含端点）上的一个动点，试确定点 F 的位置，使得平面ACF
强基竞赛 | 例谈竞赛中的平面几何定理对高中数学解题思维的优化

强基竞赛 | 例谈竞赛中的平面几何定理对高中数学解题思维的优化

高中阶段虽然不必再继续系统地学习平面几何知识，但是高中数学中有不少内容与平面几何知识有着千丝万缕的联系.比如，解三角形、平面向量、解析几何等相关问题的背景大多是平面几何，虽然从代数的角度求解这些问题也可行，但有时会非常吃力.对于代数转换能力较弱的学生来说，甚至会感到束手无策.而从几何的角度重新审视问题，借助平面几何中的一些知识，能优化问题的求解思路.中学数学竞赛中的平面几何部分涉及许多著名的定理，
聚焦新课程 | 基于2025年北京高考导数题的探究与思考

聚焦新课程 | 基于2025年北京高考导数题的探究与思考

学习是不断地在进行的一种觉察的活动，而不是从积累的事物中采取行动.2025年高考数学北京卷的第20题命题突破技能训练窠白，建立“本质理解一逻辑推理一模型建构”进阶路径，深入考查学生的思维过程、解题思路和创新能力，强化对数学学科核心素养的落实评价.由此，通过思考双变量问题的处理策略，结合典型问题，笔者系统梳理了双变量问题的常见类型，深人剖析典型双变量问题的解题策略. 例1（2025年北京卷20，节
聚焦新课程 | 聚焦立体几何创新题的命题视角

聚焦新课程 | 聚焦立体几何创新题的命题视角

立体几何创新题以新情境、新定义问题为主，考查几何体的结构特征、点线面的位置关系及相关距离、夹角计算公式等知识.在解题过程中，学生要学会合理构造辅助的线和面，或进行类比、降维处理，以揭示隐藏的空间关系，简化问题.对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明. 1新情境例118世纪英国数学家辛卜森运用定积分推导出了柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式 V= （其中 hλ
题根研究 | 回归本质，守正创新

题根研究 | 回归本质，守正创新

1真题重现例1（2023年全国乙卷理19）如图1所示，在三棱锥 P -ABC中，的中点分别为 D，E，O，AD= ，点 F 在 AC 上， .BF⊥AO （1）证明： EF /平面 ADO ：（2）证明：平面ADO⊥平面 BEF ：（3）求二面角D-AO-C 的正弦值. 图1 （1）如图2所示，在平面ABC中，以 B 为坐标原点，分别以 AB，BC 为 x 轴、 y 轴建立平
题根研究 | 立体几何到底该怎么学习一从立体几何多选题谈起

题根研究 | 立体几何到底该怎么学习一从立体几何多选题谈起

新高考出现了多选题，这是学生较为畏惧的一类题型，笔者所在学校高三复习联考中频频出现立体几何多选题.立体几何图形丰富多彩，考查问题及求解方法灵活多变，解题时多选一项会前功尽弃（得O分），所以学生见到这类题目常常“敬而远之”，得分率自然很低，经常有学生把多选题做成了单选题，仅选某一个选项（有时甚至乱猜一个答案）.如何才能做好立体几何多选题呢？立体几何到底该怎么学习？接下来笔者从三道立体几何多选题谈起，
题根研究 | 逆推与还原数学试题命制的心路历程

题根研究 | 逆推与还原数学试题命制的心路历程

向量是联系代数与几何的桥梁，也是解决立体几何的一种工具.在高三的某次测试中，一道空间向量与立体几何小题得分率较低，有个别考生说考试时无从下手.根据笔者参加全市期末统考等大型考试命题的经验，试卷上最后呈现的题目，尤其是有一定难度的综合题，几乎都是由一个简单母题或结论经过多次变式，不断改编加大难度而得到.经分析和思考，笔者发现该题源于教材，又高于教材.为还原命题历程、提升解题能力，本文在逆推题自形成、
考题分类平息 | 空间几何体中常见的两类小题探究

考题分类平息 | 空间几何体中常见的两类小题探究

空间几何体小题（选择题和填空题）侧重考查学生的空间想象能力和数学运算求解能力，而大题（解答题）侧重考查学生的逻辑推理论证能力.本文探究空间几何体中常见的两类小题，旨在帮助学生厘清常见考点，熟练掌握常用解题思维方法. 1考查空间几何体的表面积和体积解决空间几何体的体积问题常用方法是公式法、割补法、等体积法，为迅速、准确求解空间几何体的表面积和体积，学生需要熟练掌握常用公式例1已知一个圆柱的
考题分类平息 | 与正四面体相关的几个结论及其应用

考题分类平息 | 与正四面体相关的几个结论及其应用

正四面体是所有棱长均相等的四面体.特别地，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，四面体 C1-BDA1 是正四面体，据此可简捷求解正四面体的体积、外接球的半径、内切球的半径这几个常用结论.认识、理解正四面体的常用结论，有利于增强空间想象能力，强化运算求解能力，不断提升直观想象和数学运算等方面的核心素养. 1正四面体的高和体积结论1 设正四面体的棱长为 Δa ，则其体积为证法1如图1所
考题分类平息 | 三面角余弦定理在解题中的应用探究

考题分类平息 | 三面角余弦定理在解题中的应用探究

本文以2025年八省联考第19题为例，从不同的角度进行探析，特别是借助三面角余弦定理进行解答，并将对此方法在往年高考试题中的应用进行真题探源分析，以培养学生直观想象素养和关键能力. 1 试题呈现题目（2025年八省联考19）如图1所示，在平面四边形ABCD中， AB=AC=CD=1 . ∠ADC= 30∘ ∠DAB=120∘ ，将 ΔACD 沿 AC 翻折至 ΔACP ，其中 P 为动点.
重点辅导 | 聚焦立体几何多动点最值问题

重点辅导 | 聚焦立体几何多动点最值问题

立体几何中的多动点最值问题，是近年来考试中出现的一类新题型.这类最值问题涉及多个动点，令许多考生束手无策.那么求解这类难题有哪些方法路径？本文结合实例加以说明. 1动中觅静动中觅静是指抓住动点运动中的不变性，如某一点虽然在运动，却一直在某条直线上运动，或运动中与某平面的距离保持不变，这些运动中的不变性，即“静”的状态，往往是解决问题的“抓手”. 例1如图1所示，在棱长为1的正方体ABCD-
重点辅导 | 求解立体几何最值问题的三种几何视角

重点辅导 | 求解立体几何最值问题的三种几何视角

求解立体几何最值问题一般有两种思路：代数法和几何法.代数法是通过设变量建立函数关系，把原问题转化为函数最值问题；几何法从几何视角运用几何图形的性质来解决立体几何最值问题.求解立体几何最值问题有哪些常见几何视角呢？本文举例说明， 1展开当求几何体表面上的两点间的最短距离时，一般可将几何体侧面展开成平面，进而利用两点间线段最短求得最值. 例1已知圆锥的高为，底面直径 AB 的长为 6cm
重点辅导 | 例析利用基底法解立体几何问题

重点辅导 | 例析利用基底法解立体几何问题

空间向量为求解立体几何问题开辟了一条新路径.基底法源于空间向量基本定理，当三个向量不共面时，称它们为空间的一组基底，对于任意一个空间向量 p ，都能用基底线性表示，即 p=xa+ yb+zc ，其中有序实数组（x，y，z）具有唯一性.通过空间向量基底法求解立体几何问题，过程简捷，有利于培养学生空间想象和逻辑推理等能力. 1空间平行关系问题空间平行关系问题主要包括线线平行、线面平行和面
重点辅导 | 探究立体几何综合题的备考要点

重点辅导 | 探究立体几何综合题的备考要点

立体几何是高中数学核心模块，是高考的必考内容，既有解答题，又有客观题.其中解答题综合考查空间平行、垂直关系的判定和性质，以及空间角、空间距离的求解等，其处理方法既可以采用几何法，又可以采用空间向量法.下面以一道高考模拟题为例，探究立体几何综合问题的备考要点. 例如图1所示，在四棱锥 P//BCD 中，底面ABCD为直角梯形， BC //AD ， ∠ADC=90∘ ， BC= 为线段AD 的中点
难点挑战 | 截面情境下立体几何体积比值问题的求解方法

难点挑战 | 截面情境下立体几何体积比值问题的求解方法

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.在立体几何问题中，涉及截面的情境常常出现，其中体积比值问题更是考查的重点与难点.这类问题将空间图形
难点挑战 | 空间余弦定理和三正弦定理的应用

难点挑战 | 空间余弦定理和三正弦定理的应用

立体几何是数学中的一个重要分支，它研究空间中的点、线、面、体之间的关系.在解决立体几何问题时，常常需要运用各种定理和方法来确定角度、距离等.空间余弦定理和三正弦定理作为立体几何中的重要工具，为解决复杂的空间角度问题提供了有效的途径.空间余弦定理和三正弦定理揭示了空间几何体中棱长、角度关系的奥秘.深人理解和掌握这两个定理，对提高解决立体几何问题能力具有重要意义. 1空间余弦定理及其应用定理对
难点挑战 | 平面图形与几何体的相互转化策略

难点挑战 | 平面图形与几何体的相互转化策略

平面图形与几何体的相互转化问题是高中数学立体几何的核心知识点，对学生空间想象能力与逻辑思维能力要求颇高.本文通过对平面图形折叠成几何体以及几何体展开为平面图形这两类问题进行分类，深入剖析各类题型的解题思路. 1平面图形的折叠问题折叠问题是将平面图形依据特定折线折叠成空间几何体，解题的核心在于找出折叠前后图形中的不变量，如线段长度、角度等. 1. 1 求线段长度求解折叠后线段长度问题，首
难点挑战 | 利用向量法与梅涅劳斯定理高效破解一个几何模型

难点挑战 | 利用向量法与梅涅劳斯定理高效破解一个几何模型

利用向量法解决平面几何问题是向量工具性的重要体现，本文通过向量法与梅涅劳斯定理，高效地解决了一道教材中的平面几何问题，并进行应用举例.梅涅劳斯定理给出了统一的截线比例规律，为射影几何“比例不变性”奠定基础.梅涅劳斯定理可以助力学生理解有向线段与复杂位置关系，培养几何思维的深刻性与迁移性，是连接古典与近代几何的关键纽带.下面以人教A版普通高中教科书数学中的习题为例，探究它在平面向量中的应用. 1梅
方法与技巧 | 借助空间向量，巧解立体几何动点问题

方法与技巧 | 借助空间向量，巧解立体几何动点问题

在高中数学教学体系中，立体几何占据着极为重要的地位，它不仅是高考的重点考查内容，更是培养学生空间想象能力、逻辑思维能力和数学核心素养的关键载体.其中立体几何中的动点问题，以常见的立体模型为载体，综合考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养，难度一般较高，学生往往感到无从下手.向量法为解决立体几何问题提供了新的思路和方法.为提高学生应用向量法解答立体几何动点问题的能力，本文结合实际问题对常见题型
方法与技巧 | 谈谈多面体体积问题的求解策略

方法与技巧 | 谈谈多面体体积问题的求解策略

在立体几何中，求多面体体积是一类较为常见的考题，主要考查考生的空间想象和数学运算等核心素养.求解这类问题应根据多面体的特征，寻找可以运用体积公式计算的有效途径，本文结合实例谈谈多面体体积问题的求解策略. 1定高求底对于求规则的多面体体积问题，若能根据直线与平面垂直或平面与平面垂直等条件确定多面体的高，那么只需求出相应的底面积，然后运用相应的体积公式计算即可. 例1已知球 O 的半径 R=1
方法与技巧 | 例说立体几何中的三种“降维”角度

方法与技巧 | 例说立体几何中的三种“降维”角度

高中的立体几何问题通常可以转化为平面几何问题来处理，即把三维空间问题转化为二维平面问题来求解，这就是立体几何中常用的“降维"方法，那么处理立体几何问题有哪几种“降维”角度呢？本文举例说明，供大家参考. 1展开求解某些与空间几何体上点或线段有关的最值问题，往往需将几何体展开，进而将立体几何的最值问题转化为平面几何的最值问题来求解. 例1如图1所示，在棱长为3的正方体 ABCD-A1B1C
方法与技巧 | 空间向量在动点探究中的应用分析

方法与技巧 | 空间向量在动点探究中的应用分析

在高中数学中，空间向量是非常重要的一个部分，其考查方式包括计算与证明，求点、线、面上的动点问题.有时为简化计算，需要利用空间向量来确定几何体内部点、线、面之间的位置关系，以建立方程或者方程组，即借助空间向量将点、线、面之间的位置关系转化为数量关系，实现最终的求解 1空向向量在动点探究中的答题技巧 1. 1 问题类型与空间向量有关的探索性问题包括两大类，其中一类是探索线、面位置关系的存在性问
教与学 | 核心素养引领，立几模型深究

教与学 | 核心素养引领，立几模型深究

模型教学在立体几何教学中占有重要的地位，教师通过对鳖膈几何体模型的构建，可以直观地揭示几何结构和垂直关系，帮助学生理解判定定理、性质定理等立体几何中的核心概念.本文依托对鳖膰几何体性质的研究，构建了数学问题的直观模型，并探索了解决问题的思路，旨在提升学生的逻辑思维与空间想象能力，从而深化对立体几何知识的理解和应用，培养其数学核心素养. 1 问题背景新高考数学试题，特别是立体几何部分，设计目的

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